Comprendre les opérateurs binaires et les portes logiques

Un opérateur binaire est une opération qui agit sur exactement deux opérandes (valeurs d'entrée). Il ne faut pas confondre cela avec les portes logiques physiques, qui peuvent comporter plusieurs étages.

Par exemple, une porte AND à 5 entrées réalise l'opération suivante : A ∧ B ∧ C ∧ D ∧ E. Cela revient à une évaluation séquentielle, comme : ((A ∧ B) ∧ C) ∧ D ∧ E.

Lorsqu’un circuit logique ne dispose pas de toutes les entrées nécessaires, celles-ci sont complétées à l’aide de constantes digitales (0 ou 1) appropriées.

Étages et entrées

Le nombre d'étages dans un circuit permet de déterminer le nombre d'entrées possibles via la formule : 2n = nombre d'entrées. Par exemple, un circuit à 4 étages permet 16 entrées.

Nombre de portes et d'opérations

Le nombre de portes logiques correspond au nombre d'opérateurs utilisés. Par exemple, 7 portes impliquent 7 opérations (ex. : +), donc 8 variables dans l’équation : a + b + c + d + e + f + g + h.

Une porte logique peut recevoir une ou plusieurs variables sur chacun de ses bras. Exemple : (x) ⊕ (x x x).

Groupes d'opérations et étagement

Lorsqu’il y a plus de deux symboles d’opérations dans une même parenthèse ou sur un même bras, on parle de groupe. Cela nécessite des étages supplémentaires, proportionnels au nombre de variables impliquées.

Le nombre de variables détermine les scénarios possibles. Par exemple :

• 1 interrupteur : opération unaire (ex. : assertion 0 ou 1)
• 2 interrupteurs : opération binaire (ex. : +, *)
• 3 interrupteurs : opération ternaire (ex. : implication -, / ?)
• 4 interrupteurs : opération quaternaire (ex. : équivalence)

Algèbre de Boole

Une algèbre de Boole est un ensemble non vide E constitué de variables booléennes (notées a, b, c, d, e, f, g, etc.) qui ne peuvent prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Elle est définie par l’utilisation de trois opérations fondamentales (comme AND, OR, NOT).