Systèmes logiques
| LOI | OU ( ∨ ) | ET ( ∧ ) |
|---|---|---|
| Involution | \( \neg(\neg x) = x \) | |
| Redondance | \( x \vee (x \wedge y) = x \) | \( x \wedge (x \vee y) = x \) |
| Domination | \( x \vee 1 = 1 \) | \( x \wedge 0 = 0 \) |
| Neutre | \( x \vee 0 = x \) | \( x \wedge 1 = x \) |
| Idempotence | \( x \vee x = x \) | \( x \wedge x = x \) |
| Inversion | \( x \vee \overline{x} = 1 \) | \( x \wedge \overline{x} = 0 \) |
| Absorption | \( x \vee (x \wedge y) = x \) | \( x \wedge (x \vee y) = x \) |
| Commutativité | \( x \vee y = y \vee x \) | \( x \wedge y = y \wedge x \) |
| Associativité | \( x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z \) | \( x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z \) |
| Distributivité | \( x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \) | \( x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \) |
| Factorisation | \( (x \wedge y) \vee (x \wedge z) = x \wedge (y \vee z) \) | \( (x \vee y) \wedge (x \vee z) = x \vee (y \wedge z) \) |
| Allègement | \( x \vee (x \wedge \neg y) = x \) | \( x \wedge (x \vee \neg y) = x \) |
| Consensus | \( (x \wedge y) \vee (\neg x \wedge z) \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (\neg x \wedge z) \) | \( (x \vee y) \wedge (\neg x \vee z) \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (\neg x \vee z) \) |
| Simplification | \( x \vee (\neg a \wedge b) = a \vee b \) | \( x \wedge (\neg a \vee b) = a \wedge b \) |
Notes complémentaires :
- Inversion : aussi appelée loi du tiers exclu — toute variable combinée avec son complément donne un résultat constant (1 en OU, 0 en ET).
- Absorption : propriété de réduction d’expression par invariance logique.
Règle de priorité des opérateurs en logique booléenne :
Seuls les opérateurs standards ont une priorité dans les expressions algébriques. Les fonctions composées comme NAND, NOR, etc., sont traitées comme des blocs sans priorité explicite.
| Ordre de priorité des opérateurs | |
|---|---|
| 1 | NON (¬) |
| 2 | ET (∧) |
| 3 | OU (∨) |
| 4 | XOR (⊕) |
| 5 | IMPLICATION (⇒) |
| 6 | ÉQUIVALENCE (⇔) |
Exemple : Pour \( F = \neg(A \vee B) \), on applique d'abord \( A \vee B \), puis la négation.